一、概述
我們?cè)陂_(kāi)展壽命數(shù)據(jù)分析工作時(shí)（故障數(shù)據(jù)分析、試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析、質(zhì)保數(shù)據(jù)分析等），經(jīng)常使用威布爾分布進(jìn)行分析。但是，我們?cè)谑褂猛紶柗治鰰r(shí)，經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)威布爾分布的形狀參數(shù)β值有時(shí)候計(jì)算得到的值小于1，有時(shí)候等于1，有時(shí)候大于1，甚至β值非常大。此時(shí)，我們會(huì)有疑問(wèn)，到底計(jì)算結(jié)果對(duì)不對(duì)呢？是否反映了產(chǎn)品的壽命特征呢？是不是數(shù)據(jù)處理或者數(shù)據(jù)本身存在問(wèn)題呢？
二、關(guān)于威布爾分布及形狀參數(shù)β
首先，我們看一下威布爾分布和β值。威布爾分布是可靠性工作中非常常用的一種分布。威布爾分布是20世紀(jì)中期，由Waloddi Weibull提出的。由于這個(gè)分布擴(kuò)展性非常好，使用非常廣泛。威布爾分布（2參數(shù)）的形狀參數(shù)β，能夠有效描述出所分析數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。例如，形狀參數(shù)β值可以用來(lái)描述故障率隨著時(shí)間的變化。當(dāng)β小于1時(shí)，表示故障率隨著時(shí)間而降低，即產(chǎn)品還處于一個(gè)早期磨合期，通常與早期失效或者由于本身缺陷導(dǎo)致的早期失效相關(guān)。當(dāng)β等于1或者近似于1時(shí)，表示故障率不會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，故障的發(fā)生是偶然性的。即故障率基本恒定。當(dāng)β大于1表示故障率隨著時(shí)間增加，通常故障都是與機(jī)械磨損、損耗等相關(guān)。
如上所述，由于威布爾分布擴(kuò)展性非常好，能夠有效表示產(chǎn)品的壽命特征，很多企業(yè)都使用威布爾分布進(jìn)行壽命數(shù)據(jù)分析。特別是用于機(jī)械產(chǎn)品的可靠性分析。但是，在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有些產(chǎn)品的壽命數(shù)據(jù)分析結(jié)果中，β參數(shù)非常大。此時(shí)，我們可能會(huì)懷疑是否分析錯(cuò)了？計(jì)算得到如此高的β值可能被誤認(rèn)為是產(chǎn)品或者測(cè)試過(guò)程中某些地方存在問(wèn)題。為了弄明白為什么形狀參數(shù)β會(huì)有較大差異，不同β值表示產(chǎn)品的可靠性特點(diǎn)有哪些，我們看一下2參數(shù)威布爾分布的概率密度函數(shù)（PDF）為：
可能直接從概率密度函數(shù)公式我們很難直接發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題。我們看一下不同形狀參數(shù)β值和尺度參數(shù)（特征壽命）η值的PDF曲線形狀。
威布爾分布的概率密度函數(shù)圖形我們可以看出，尺度參數(shù)相同時(shí)，不同形狀參數(shù)β下的PDF曲線是明顯不同的。β值越大，那么PDF曲線形狀偏窄，即各樣本的失效數(shù)據(jù)相對(duì)集中；反之，形狀參數(shù)β越小，pdf曲線跨度較大，即失效數(shù)據(jù)落在的區(qū)域較大。
掌握了威布爾分布的概率密度函數(shù)曲線特征，我們也大概了解了為什么有時(shí)候我們進(jìn)行壽命數(shù)據(jù)分析時(shí)，有時(shí)候得到的β參數(shù)較大，有時(shí)候較小了。
從威布爾分布的概率密度函數(shù)曲線，我們可以知道：威布爾分布形狀參數(shù)β是表示數(shù)據(jù)變化特性的度量。β值大，表示數(shù)據(jù)變化性小。因此，如果β值較大，表明產(chǎn)品將在較小的時(shí)間范圍內(nèi)失效。只要這個(gè)集中出現(xiàn)的故障時(shí)間點(diǎn)，遠(yuǎn)超過(guò)我們?cè)O(shè)定的目標(biāo)值，此時(shí)，我們可以不必要太過(guò)于擔(dān)心。如果故障時(shí)間點(diǎn)集中出現(xiàn)的位置小于我們的目標(biāo)值，那么就需要進(jìn)一步分析了。也就是說(shuō)，我們?cè)趬勖鼣?shù)據(jù)分析時(shí)，得到形狀參數(shù)β值較大不是問(wèn)題，只要尺度參數(shù)（特征壽命）η的相應(yīng)值足夠高，使得集中出現(xiàn)的故障時(shí)間點(diǎn)遠(yuǎn)離我們的目標(biāo)值，使得產(chǎn)品實(shí)現(xiàn)可接受的總體可靠性，那么形狀參數(shù)β大則不是問(wèn)題。
三、對(duì)產(chǎn)品可靠性的影響
下面以一些案例說(shuō)明威布爾分布的形狀參數(shù)，對(duì)于產(chǎn)品可靠性的影響
案例1：軸承壽命數(shù)據(jù)分析
為驗(yàn)證某軸承的可靠性是否滿足設(shè)計(jì)要求（2000小時(shí)，95%置信度，R要求值0.9），開(kāi)展了軸承可靠性試驗(yàn)，得到該軸承的試驗(yàn)數(shù)據(jù)之后，將這些輸入錄入到PosWeibull的壽命分析模塊進(jìn)行分析。計(jì)算得到其形狀參數(shù)β為13.57.該β值相對(duì)較大。但是，我們看一下試驗(yàn)數(shù)據(jù)，故障時(shí)間基本集中在2000-2500小時(shí)，查看其概率密度函數(shù)PDF曲線，顯示故障數(shù)據(jù)相對(duì)集中。計(jì)算該軸承95%置信度下的可靠度為0.922，滿足設(shè)計(jì)要求。中位壽命值為2343。綜合上述計(jì)算結(jié)果，我們可以通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)判斷該產(chǎn)品可靠性滿足設(shè)計(jì)要求。
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但是，當(dāng)我們看到分析得到的β值較大時(shí)，我們還是要注意：
（1）β值較大，說(shuō)明這些產(chǎn)品的故障發(fā)生時(shí)間較為集中，即產(chǎn)品到達(dá)這個(gè)時(shí)間后磨損會(huì)急劇下降。大量產(chǎn)品都會(huì)在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)發(fā)生故障；
（2）對(duì)于可修復(fù)系統(tǒng)，具有高β值的產(chǎn)品實(shí)際上更利于維修規(guī)劃。因?yàn)檫@些產(chǎn)品的故障時(shí)間相對(duì)集中，可以提高預(yù)防性維護(hù)計(jì)劃的效率。這些故障數(shù)據(jù)的可變性小意味著故障以更“可控”的方式發(fā)生，因此可以量化預(yù)防性維護(hù)的最佳更換間隔。例如，對(duì)于預(yù)防性維護(hù)計(jì)劃來(lái)說(shuō)，理想的做法是讓一個(gè)產(chǎn)品在2000小時(shí)的運(yùn)行后才集中出現(xiàn)故障。因此，我們可以將最佳更換時(shí)間確定在預(yù)期故障之前，即1999小時(shí)前。
（3）一般情況下，建議根據(jù)企業(yè)內(nèi)部的產(chǎn)品故障數(shù)據(jù)分析經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)相應(yīng)的β典型值，上下限值。后續(xù)可根據(jù)這些典型值進(jìn)行故障數(shù)據(jù)分析。
(4)當(dāng)β參數(shù)大于1時(shí)，我們通常會(huì)認(rèn)為需要進(jìn)行預(yù)防性維修了。即當(dāng)β大于1時(shí)，產(chǎn)品具備磨損、耗損特征了。需要進(jìn)行預(yù)防性維修進(jìn)行潤(rùn)滑、維修優(yōu)化等。
四、β值對(duì)于可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)設(shè)計(jì)的影響
我們?cè)谶M(jìn)行可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，如果知道產(chǎn)品的壽命服從威布爾分布，我們可以借助威布爾分布的形狀參數(shù)β值，指導(dǎo)我們?nèi)绾芜M(jìn)行可靠性試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)。關(guān)于β值、試驗(yàn)時(shí)間、樣本數(shù)量之間的關(guān)系，以及如何進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)間、樣本數(shù)量的優(yōu)化,我們可以通過(guò)下面的公式推導(dǎo)出來(lái)。
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式中，CL是置信度，已知；t為試驗(yàn)時(shí)間；η為尺度參數(shù)，我們可以通過(guò)威布爾分布的η參數(shù)計(jì)算公式得到η的表達(dá)式，代入上面方程。即可推導(dǎo)出,當(dāng)n大于ln(1-CL)/ln(R)時(shí)，隨著β的增加，需要的試驗(yàn)時(shí)間也增加；當(dāng)n小于ln(1-CL)/ln(R)時(shí),隨著β增加，試驗(yàn)時(shí)間減少。由此，我們可以計(jì)算得到臨界點(diǎn)，根據(jù)這個(gè)臨界點(diǎn)，我們可以判斷β值如何影響試驗(yàn)時(shí)間及樣本的，即我們可以根據(jù)產(chǎn)品的故障特征，進(jìn)行可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)與優(yōu)化。關(guān)于如何進(jìn)行可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)與優(yōu)化，可以使用PosWeibull的可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)功能的參數(shù)化二項(xiàng)式法進(jìn)行設(shè)計(jì)，計(jì)算臨界點(diǎn)可以使用非參數(shù)化二項(xiàng)式法計(jì)算，具體見(jiàn)可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)方法、案例
五、典型產(chǎn)品的β值
球軸承、滾動(dòng)軸承、滑動(dòng)軸承、傳動(dòng)帶、液壓波紋管、螺栓、離合器、磁性離合器、聯(lián)軸器、聯(lián)軸節(jié)齒輪、液壓缸、金屬膜片 隔膜橡膠、液壓墊圈、油過(guò)濾器、齒輪、葉輪泵、機(jī)械接頭、支撐軸、往復(fù)式缸套、螺母、O型彈性環(huán)、往復(fù)式桿、插銷、樞軸、活塞式發(fā)動(dòng)機(jī)、潤(rùn)滑油泵、機(jī)械密封、離心泵軸、彈簧、振動(dòng)支座、離心泵耐磨環(huán)、往復(fù)式壓縮機(jī)閥等多種機(jī)械零部件都有相應(yīng)的典型β值供參考。若需要了解更多，可咨詢我們。